ما هو القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية

احمد تاريخ النشر

المقدمة:

المعادلة التربيعية هي معادلة من الدرجة الثانية تأخذ الشكل العام:

ax^2 + bx + c = 0

حيث:

  • a، b، c هي معاملات حقيقية، و a ≠ 0.
  • x هو المتغير المجهول.

طرق حل المعادلات التربيعية:

هناك ثلاث طرق رئيسية لحل المعادلات التربيعية:

1. التحليل إلى العوامل:

  • تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل تحليل التعبير ax^2 + bx + c إلى حاصل ضړب عاملين من الدرجة الأولى.
  • في هذه الحالة، تكون حلول المعادلة هي قيم x التي تجعل أحد العاملين يساوي صفرًا.

2. طريقة الاستكمال إلى مربع:

  • تُستخدم هذه الطريقة عندما لا يكون من السهل تحليل التعبير ax^2 + bx + c إلى حاصل ضړب عاملين من الدرجة الأولى.
  • تقوم هذه الطريقة بإعادة كتابة التعبير ax^2 + bx + c في شكل مربع تام، ثم يمكن حل المعادلة بسهولة.

3. القانون العام والمميز:

  • يُعد القانون العام والمميز الطريقة الأكثر شيوعًا لحل المعادلات التربيعية.
  • يُمكن استخدام هذه الطريقة لحل أي معادلة تربيعية، بغض النظر عن إمكانية تحليلها إلى العوامل أو إعادة كتابتها في شكل مربع تام.

القانون العام:

يُعطى القانون العام لحل المعادلة التربيعية بالصيغة التالية:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

حيث:

  • a، b، c هي معاملات المعادلة التربيعية.
  • √ هي الجذر التربيعي.

المميز:

يُستخدم المميز لتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية.

يُعطى المميز بالصيغة التالية:

Δ = b^2 - 4ac

إذا كان Δ > 0، فإن للمعادلة حلّين حقيقيين مختلفين.

إذا كان Δ = 0، فإن للمعادلة حلًّا حقيقيًا واحدًا (متكرّر).

إذا كان Δ < 0، فلا توجد حلول حقيقية للمعادلة.

أمثلة:

1. حل المعادلة التربيعية 2x^2 + 5x - 3 = 0 باستخدام القانون العام:

a = 2، b = 5، c = -3 x = (-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * -3)) / 2 * 2 x = (-5 ± √49) / 4 x = (-5 ± 7) / 4 x = 1 أو x = -3/2

2. حل المعادلة التربيعية x^2 + 4x + 4 = 0 باستخدام المميز:

a = 1، b = 4، c = 4 Δ = 4^2 - 4 * 1 * 4 = 0

بما أن Δ = 0، فإن للمعادلة حلًّا حقيقيًا واحدًا (متكرّر).

لحساب قيمة هذا الحل، يمكننا استخدام القانون العام:

x = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * 4)) / 2 * 1 x = (-4 ± 0) / 2 x = -2

 

معلومات الكاتب
احمد