ما هو قانون التباين

احمد تاريخ النشر

في الإحصاء ونظرية الاحتمالات، يُعدّ تباين متغير عشوائي أو توزيع احتمالي أو عينة مقياسًا للتشتت الإحصائي للقيم الممكنة حول القيمة المتوقعة.

يمكن تعريف التباين رياضيًا على النحو التالي:

  • لتباين متغير عشوائي X:

σ^2 = E[(X - μ)^2]

حيث:

σ^2 هو تباين المتغير العشوائي X.

E هي رمز التوقع الرياضي.

μ هي القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X.

(X - μ) هو انحراف قيمة المتغير العشوائي X عن القيمة المتوقعة μ.

لتباين عينة من حجم n:

s^2 = Σ[(x_i - x̄)^2] / (n - 1)

حيث:

  • s^2 هو تباين العينة.
  • Σ هو رمز التجميع.
  • x_i هي قيمة i في العينة.
  • x̄ هو متوسط العينة.
  • n هو حجم العينة.

خصائص التباين:

  • التباين دائمًا غير سالب: σ^2 ≥ 0 , s^2 ≥ 0
  • إذا كان التباين يساوي صفرًا، فهذا يعني أن جميع القيم متساوية.
  • كلما زاد التباين، زاد تشتت البيانات حول القيمة المتوقعة.
  • وحدة قياس التباين هي مربع وحدة قياس المتغير العشوائي.

أهمية التباين:

  • يُستخدم التباين لقياس مدى انتشار البيانات حول القيمة المتوقعة.
  • يُستخدم التباين في العديد من الاختبارات الإحصائية، مثل اختبار t واختبار ANOVA.
  • يُستخدم التباين في تقدير دقة التقديرات الإحصائية.

أمثلة على حساب التباين:

1. حساب تباين متغير عشوائي موحد:

  • متغير عشوائي X موحد على الفترة [a, b].
  • القيمة المتوقعة μ = (a + b) / 2.
  • التباين σ^2 = (b - a)^2 / 12.

2. حساب تباين عينة من البيانات:

  • نأخذ عينة من 5 قيم: {2, 4, 4, 4, 5}.
  • متوسط العينة x̄ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5) / 5 = 4.
  • التباين s^2 = [(2 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2] / (5 - 1) = 1 / 4.
معلومات الكاتب
احمد